Sequência de Fibonacci

Leonardo de Pisa (Fibonacci=filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu em 1202 um livro denominado Liber Abacci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição de 1228. Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.

Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.



No início do 3o. mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.

No início do 4o. mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.

No início do 5o. mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.

No início do 6o. mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém nascidos.

Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também pode-se perceber que a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:

1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo
2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo
3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo
continua ...